無限級数の値

二項定理その1

二項定理について考える。\(n\)は自然数とする。

\[ (1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k \] まず、\(x=1,-1\)を代入して、 \begin{align} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}&=2^n\\ \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}&=0 \end{align} この2つを足して2で割ってみると、 \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{2k}=2^{n-1} \] が得られる。同様に \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{2k+1}=2^{n-1} \] も得られる。これを一般化してみたい。具体的に、\(a>b\geq 0\)を整数として、 \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{ak+b} \] を求めてみたいと思う。まず、よく知られた公式 \[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{1-x^n}{1-x} \] に\(x=e^{2\pi im/n}\)を代入する。\(m\)が\(n\)の倍数ではないとき、 \[ \sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi imk/n}=\frac{1-e^{2\pi im}}{1-e^{2\pi im/n}}=0 \] よって、 \[ \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi imk/n}= \begin{cases} 1\quad(mがnの倍数)\\ 0\quad(mがnの倍数でない) \end{cases} \] これをもちいることによって、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\binom{n}{ak+b}&=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k+b}\frac{1}{a}\sum_{l=0}^{a-1}e^{2\pi ikl/a}\\ &=\frac{1}{a}\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\sum_{l=0}^{a-1}e^{2\pi il(k-b)/a}\\ &=\frac{1}{a}\sum_{l=0}^{a-1}e^{-2\pi ilb/a}\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}e^{2\pi ilk/a}\\ &=\frac{1}{a}\sum_{l=0}^{a-1}e^{-2\pi ilb/a}(1+e^{2\pi il/a})^n\\ \end{align} よって、 \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{ak+b}=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{a-1}e^{-2\pi ibk/a}(1+e^{2\pi ik/a})^n\\ \] この計算から分かるように、実は一般に\(f(x)=\sum_{n\geq 0}f_nx^n\)としたとき、 \[ \sum_{n\geq 0}f_{an+b}x^{an+b}=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{a-1}e^{-2\pi ibk/a}f(xe^{2\pi ik/a}) \] が成り立つ。さらに計算していくと、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\binom{n}{ak+b}&=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{a-1}e^{-2\pi ibk/a}(1+e^{2\pi ik/a})^n\\ &=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{a-1}e^{\pi ink/a-2\pi ibk/a}(e^{\pi ik/a}+e^{-\pi ik/a})^n\\ &=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{a-1}\left(\cos\left(\frac{\pi k(n-2b)}{a}\right)+i\sin\left(\frac{\pi k(n-2b)}{a}\right)\right)\left(2\cos\left(\frac{\pi k}{a}\right)\right)^n\\ &=\frac{2^n}{a}\sum_{k=0}^{a-1}\cos\left(\frac{\pi k(n-2b)}{a}\right)\cos^n\left(\frac{\pi k}{a}\right) \end{align} よって、 \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{ak+b}=\frac{2^n}{a}\sum_{k=0}^{a-1}\cos\left(\frac{\pi k(n-2b)}{a}\right)\cos^n\left(\frac{\pi k}{a}\right) \] 例をあげると、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\binom{n}{3k}&=\frac{2^n}{3}\sum_{k=0}^2\cos\left(\frac{\pi nk}{3}\right)\cos^n\left(\frac{\pi k}{3}\right)\\ &=\frac{2^n}{3}\left(1+\cos\frac{\pi n}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n+\cos\frac{2\pi n}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\\ &=\frac{2^n}{3}\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\cos\frac{\pi n}{3}\right)\\ &=\frac{2}{3}\left(2^{n-1}+\cos\frac{\pi n}{3}\right) \end{align} 同様に、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\binom{n}{3k}&=\frac{2}{3}\left(2^{n-1}+\cos\frac{\pi n}{3}\right)\\ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{3k+1}&=\frac{2}{3}\left(2^{n-1}+\cos\frac{\pi (n-2)}{3}\right)\\ \sum_{k\geq 0}\binom{n}{3k+2}&=\frac{2}{3}\left(2^{n-1}+\cos\frac{\pi (n-4)}{3}\right) \end{align} これはすごい面白いね!

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