無限級数の値

二項定理その2

\(a\)を実数として、次の関数のMaclaurin展開を考える。

\[ f(x)=(1-x)^{-a} \] \(n\)階微分は、 \[ f^{(n)}(x)=a(a+1)\cdots(a+n-1)(1-x)^{-a-n} \] であるから、 \[ f^{(n)}(0)=a(a+1)\cdots(a+n-1) \] である。\(a(a+1)\cdots(a+n-1)\)を\((a)_n\)とかき、これをPochhammer記号という。 これにより、Maclaurin展開は、 \[ (1-x)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}x^n \] これを一般化二項定理という。ここで、\(x\to -e^{ix}\)としてみよう。すると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(a)_n}{n!}e^{inx}&=(1+e^{ix})^{-a}\\ &=e^{-iax/2}\left(2\cos\frac x2\right)^{-a}\\ \end{align} これを実部と虚部に分けることで、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(a)_n}{n!}\sin nx&=\left(2\cos\frac x2\right)^{-a}\sin \frac{ax}{2}\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(a)_n}{n!}\cos nx&=\left(2\cos\frac x2\right)^{-a}\cos \frac{ax}{2} \end{align} これは面白い!
さて、さきほどの式に\(a=\frac 12\)を代入してみる。 すると、 \[ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{n!}x^n \] ここで、 \begin{align} \frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}&=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n}n!}\\ &=\frac{(2n)!}{2^nn!\cdot2\cdot4\cdots(2n)}\\ &=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\\ &=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} \end{align} であるから、 \[ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}x^n \] より、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^n=\frac{1}{\sqrt{1-4x}} \] これは美しい式だ!これを積分するとCatalan数を、\(C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)として、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}C_nx^n=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \] Catalan数の母関数が求まった。同様にさっきのFourier級数にも\(a=\frac 12\)を代入すると、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\sin nx&=\frac{\sin\frac x4}{\sqrt{2\cos\frac x2}}\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\cos nx&=\frac{\cos\frac x4}{\sqrt{2\cos\frac x2}} \end{align} これも面白い!なんとなくやりたくなることがあって、 \[ \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\sin nx\right)^2+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\cos nx\right)^2=\frac{1}{2\cos\frac x2} \] とかきたくなる。

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