無限級数の値

二項定理その4

次の関数を考える。

\[ \frac{1}{1-x-ax^2} \] これを2通りの方法で表して、面白い等式を得たいと思う。 \[ x^2-x-a=0 \] の2つの根を\(\alpha,\beta\)とすると、 \begin{align} \frac{1}{1-x-ax^2}&=-\frac{1}{(1-\alpha x)(1-\beta x)}\\ &=\frac{1}{(\alpha-\beta)x}\left(\frac{1}{1-\alpha x}-\frac{1}{1-\beta x}\right)\\ &=\frac{1}{(\alpha-\beta)x}\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha^n-\beta^n)x^n\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}x^{n-1} \end{align} である。一方、 \begin{align} \frac{1}{1-x-ax^2}&=\sum_{n=0}^{\infty}(x+ax^2)^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}x^n(1+ax)^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kx^k\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kx^{n+k}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{k\geq 0}\binom{n-k}{k}a^k\\ \end{align} よって、係数比較により、 \[ \sum_{k\geq 0}\binom{n-k}{k}a^k=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta} \] これは面白い、\(a\to x\)として、\(\alpha,\beta\)を明示すると、 \[ \sum_{k \geq 0}\binom{n-k}{k}x^k=\frac{1}{\sqrt{1+4x}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{1+4x}}{2}\right)^{n+1}\right) \] 右辺側にあわせてかくと、 \[ \frac{1}{\sqrt{1+x}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{1+x}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{1+x}}{2}\right)^{n}\right)=\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^{2k}}\binom{n-k-1}{k}x^k \] なかなかいい感じの形だと思う。実はこれ、\(n\)を連続変数に一般化できて、 それは超幾何級数をもちいて証明することができると思う。 この方法、簡単なのになぜか今までやったことがなかったので、 まだまだ僕が見落としている、面白い等式があるのかもしれない。 この等式、分母にも\((2n-k-1)!\)があるので、多分これを超幾何級数でやろうとすると結構たいへんだと思う。 ここで、\(x\to -\sin^2 x\)とすることにより、 \begin{align} \frac{1}{\cos x}\left(\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)^n\right)&=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\binom{n-k-1}{k}\sin^{2k}x\\ \frac{\cos^{2n}\frac{x}{2}-\sin^{2n}\frac{x}{2}}{\cos x}&=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\binom{n-k-1}{k}\sin^{2k}x \end{align} この形も面白い、試しに\(x\to \frac{\pi}2\)と極限をとってみると、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\binom{n-k}{k}&=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2n+2}\frac{x}{2}-\sin^{2n+2}\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}\\ &=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\sum_{k=0}^n\sin^{2k}x\cos^{2n-2k}x\\ &=\frac{n+1}{2^{n}} \end{align} つまり、 \[ \sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\binom{n-k}{k}=\frac{n+1}{2^{n}} \] が得られる。

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