無限級数の値

\(\cos\)の無限積

\(\cos\)の無限積も求めておきたいと思う。

\begin{align} \cos\pi x&=\frac{\sin2\pi x}{2\pi x}\frac{\pi x}{\sin \pi x}\\ &=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{4x^2}{n^2}\right)\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^{-1}\\ &=\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2}\right)\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^{-1}\\ &=\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2}\right) \end{align} また、\(x\to ix\)とすることによって、 \begin{align} \sinh\pi x&=\pi x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\\ \cosh\pi x&=\prod_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{4x^2}{(2n+1)^2}\right) \end{align} も得られる。例として、 \[ \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} \]

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