無限級数の値

Fermat数の無限積と級数

ここでは、Fermat数\(F_n=1+2^{2^n}\)として、

\begin{align} &\prod_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{2^{2^n}}=2\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{F_n}=1\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2^n+2n}}{F_n^2}=2 \end{align} を証明したいと思う。 \(|x| < 1\)とする、 \begin{align} \frac{1}{1-x}&=\frac{1+x}{1-x^2}\\ &=\frac{(1+x)(1+x^2)}{1-x^4}\\ &=\frac{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})}{1-x^{2^{n+1}}} \end{align} ここで、\(n\to\infty\)のとき、\(x^{2^{n+1}} \to 0\)より、 \begin{align} \frac{1}{1-x}&=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)\cdots \end{align} つまり、 \[ \prod_{n=0}^{\infty}(1+x^{2^n})=\frac{1}{1-x} \] これは\(|x| < 1\)で収束する。\(x=\frac 12\)を代入して、Fermat数の無限積 \[ \prod_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{2^{2^n}}=2 \] が得られる。 さて、 \[ \prod_{n=0}^{\infty}(1+x^{2^n})=\frac{1}{1-x} \] 両辺の対数をとって、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\ln(1+x^{2^n})=-\ln(1-x) \] これを微分してから\(x\)を掛けて、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^nx^{2^n}}{1+x^{2^n}}=\frac{x}{1-x} \] これに\(x=\frac 12\)を代入して、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{F_n}=1 \] が得られる。これは美しい。 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^nx^{2^n}}{1+x^{2^n}}=\frac{x}{1-x} \] において、\(x\to 1/x\)を代入して、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{1+x^{2^n}}=\frac{1}{x-1} \] 両辺を微分して、\(-x\)を掛けて、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}x^{2^n}}{(1+x^{2^n})^2}=\frac{x}{(1-x)^2} \] これに\(x=2\)を代入して、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2^n+2n}}{F_n^2}=2 \] も得られる。

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