無限級数の値

Fibonacci数の母関数

Fibonacci数は\(F_0=0,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\)で定義される数列で、 ここではその母関数

\[ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n \] を考えてみる。 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}F_{n+2}x^{n+2}&=\sum_{n=0}^{\infty}F_{n+1}x^{n+2}+\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^{n+2}\\ \sum_{n=2}^{\infty}F_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^{n+1}+x^2F(x)\\ F(x)-x&=xF(x)+x^2F(x)\\ \end{align} これを\(F(x)\)について解くと、 \[ F(x)=\frac{x}{1-x-x^2} \] が得られる。さて、\(\alpha,\beta\)を方程式\(x^2-x-1=0\)の根とすれば、 \begin{align} \frac{x}{1-x-x^2}&=-\frac{x}{(\alpha-x)(\beta-x)}\\ &=\frac{1}{\alpha-\beta}\left(\frac{\alpha}{\alpha-x}-\frac{\beta}{\beta-x}\right)\\ &=\frac{1}{\alpha-\beta}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{\alpha}}-\frac{1}{1-\frac{x}{\beta}}\right)\\ &=\frac{1}{\alpha-\beta}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{\alpha}\right)^n-\left(\frac{x}{\beta}\right)^n\right)\\ &=\frac{1}{\alpha-\beta}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha^{-n}-\beta^{-n}\right)x^n \end{align} \(\alpha=-\frac{1-\sqrt{5}}{2},\beta=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)を代入して、 \[ \frac{1}{\alpha-\beta}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha^{-n}-\beta^{-n}\right)x^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)x^n \] よって、Fibonacci数の一般項 \[ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) \] を得る。黄金比を\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)であらわすと、 \[ F_n=\frac{\phi^n+(-1)^{n-1}\phi^{-n}}{\sqrt{5}} \] とあらわせる。さて、 \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_nx^n \] としたとき、その係数にFibonacci数を掛けたもの \[ \sum_{n=0}^{\infty}f_nF_nx^n \] を考えてみたい。 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}f_nF_nx^n&=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^{\infty}f_n(\phi^n-(-1)^n\phi^{-n})x^n\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(\phi x)^n-\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{\phi}\right)^n\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(f(\phi x)-f\left(-\frac{x}{\phi}\right)\right) \end{align} これをもちいて、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}F_n^2x^n&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{\phi x}{1-\phi x-\phi^2 x^2}-\frac{-\frac{x}{\phi}}{1+\frac{x}{\phi}-\frac{x^2}{\phi^2}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{\phi x\left(1+\frac{x}{\phi}-\frac{x^2}{\phi}\right)+\frac{x}{\phi}(1-\phi x-\phi^2x^2)}{(1-\phi x-\phi^2x^2)\left(1+\frac{x}{\phi}-\frac{x^2}{\phi^2}\right)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{x\left(\phi+x-\frac{x^2}{\phi}+\frac{1}{\phi}-x-\phi x^2\right)}{1+\left(\frac{1}{\phi}-\phi\right)x+\left(-\frac{1}{\phi^2}-1-\phi^2\right)x^2+\left(-\phi+\frac{1}{\phi}\right)x^3+x^4}\\ &=\frac{x(1-x^2)}{1-x-4x^2-x^3+x^4} \end{align} などの計算ができる。さて、最初の式をもちいて、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n&=\frac{x}{1-x-x^2}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}(x+x^2)^n\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}x^n(1+x)^n\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n+k}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{k=0}^n\binom{n-k}{k}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n-k}{k} \end{align} よって、 \[ F_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n-k}{k} \] を得る。これは結構面白い式だと思う。

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