無限級数の値

Fresnel積分

ここでは、複素解析をつかわずにFresnel積分

\begin{align*} &\int_0^{\infty}\sin x^2\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}\\ &\int_0^{\infty}\cos x^2\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} \end{align*} を求めたいと思う。 \begin{align*} \int_0^{\infty}x^{s-1}\sin x\,dx&=\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\infty}t^{-s}e^{-xt}\,dt\right)\sin x\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}t^{-s}e^{-xt}\sin x\,dxdt\\ &=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\infty}t^{-s}\left(\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx\right)\,dt \end{align*} ここで、2回部分積分して、 \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx&=\left[-e^{-xt}\cos x\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}te^{-xt}\cos x\,dx\\ &=1-\left[te^{-xt}\sin x\right]_0^{\infty}-t^2\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx\\ &=1-t^2\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx \end{align*} より、 \[ \int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx=\frac{1}{1+t^2} \] だから、 \begin{align*} \frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\infty}t^{-s}\left(\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin x\,dx\right)\,dt&=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{-s}}{1+t^2}\,dt\\ &=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\pi/2}\tan^{-s}x\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^{\pi/2}\sin^{-s}x\cos^sx\,dx\\ &=\frac{1}{2\Gamma(1-s)}\Gamma\left(\frac {1-s}2\right)\Gamma\left(\frac {1+s}2\right)\\ &=\frac{\Gamma(s)}{2\Gamma(s)\Gamma(1-s)}\frac{\pi}{\cos\frac{\pi s}{2}}\\ &=\frac{\Gamma(s)\sin \pi s}{2\cos\frac{\pi s}{2}}\\ &=\Gamma(s)\sin\frac{\pi s}{2} \end{align*} よって、 \[ \int_0^{\infty}x^{s-1}\sin x\,dx=\Gamma(s)\sin\frac{\pi s}{2} \] である。 \begin{align*} \int_0^{\infty}\sin x^2\,dx&=\frac 12\int_0^{\infty}x^{-1/2}\sin x\,dx\\ &=\frac 12\Gamma\left(\frac 12\right)\sin\frac{\pi}4\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} \end{align*} 同様に、 \[ \int_0^{\infty}x^{s-1}\cos x\,dx=\Gamma(s)\cos\frac{\pi s}{2} \] であり、 \[ \int_0^{\infty}\cos x^2\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} \] が得られる。

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