無限級数の値

Frullani integral

ここでは、Frullani integral

\[ \int_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx=\left(f(0)-f(\infty)\right)\ln\frac ba \] を導出してみる。ここで、 \[ f(\infty)=\lim_{x\to\infty}f(x) \] それには\(f'\)が連続であればよい。 \begin{align} \int_p^q\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx&=\int_p^q\frac{f(ax)}{x}\,dx-\int_p^q\frac{f(bx)}{x}\,dx\\ &=\int_{ap}^{aq}\frac{f(x)}x\,dx-\int_{bp}^{bq}\frac{f(x)}x\,dx\\ &=\int_{ap}^{bp}\frac{f(x)}x\,dx-\int_{aq}^{bq}\frac{f(x)}x\,dx\\ \end{align} ここで、 \begin{align} \int_{ap}^{bp}\frac{f(x)}x\,dx&=[f(x)\ln x]_{ap}^{bp}-\int_{ap}^{bp}f'(x)\ln x\,dx\\ &=f(bp)\ln bp-f(ap)\ln ap-\int_{ap}^{bp}f'(x)\ln x\,dx\\ &=f(bp)\ln b-f(ap)\ln a -(f(bp)-f(ap))\ln p-\int_{ap}^{bp}f'(x)\ln x\,dx \end{align} であり、\(p\to +0\)とすると、 \begin{align} \lim_{p\to +0}\int_{ap}^{bp}\frac{f(x)}x\,dx&=\lim_{p\to +0}\left(f(bp)\ln b-f(ap)\ln a -(f(bp)-f(ap))\ln p-\int_{ap}^{bp}f'(x)\ln x\,dx\right)\\ &=f(0)\ln\frac ba-\lim_{p\to +0}{\frac{f(bp)-f(ap)}{p}}p\ln p-\lim_{p\to +0}f'(\xi p)\int_{ap}^{bp}\ln x\,dx\\ &=f(0)\ln\frac ba \end{align} ここで、\(a\leq \xi \leq b\)である。\(g(x)=f\left(\frac 1x\right)\)として、 \begin{align} \int_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx&=\lim_{p\to +0}\int_p^{1/p}\frac{f(ax)-f(bx)}x\,dx\\ &=\lim_{p\to +0}\int_{ap}^{bp}\frac{f(x)}{x}\,dx-\lim_{p\to +0}\int_{a/p}^{b/p}\frac{f(x)}{x}\,dx\\ &=f(0)\ln\frac{b}{a}-\lim_{p\to +0}\int_{p/b}^{p/a}\frac{g(x)}{x}\,dx\\ &=f(0)\ln\frac{b}{a}-g(0)\ln\frac{b}{a}\\ &=\left(f(0)-f(\infty)\right)\ln\frac ba \end{align} 例えば、 \begin{align} \int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx&=\ln\frac{b}{a}\\ \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-ax}}{(1+ax)^s}-\frac{e^{-bx}}{(1+bx)^s}\right)\frac{dx}{x}&=\ln\frac{b}{a}\\ \int_0^{\infty}\frac{\arctan ax-\arctan bx}{x}\,dx&=\frac{\pi}{2}\ln\frac{a}{b} \end{align} などができる。

スタイル変更

サイト内検索

人気記事

関連記事


created in 2019