無限級数の値

調和数その2

次の等式を証明したい。

\[ \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}=H_n \] 方法1、これはわかりやすい方法だと思う。 \begin{align} \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}&=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\int_0^1x^{k-1}\,dx\\ &=\int_0^1\frac{1-\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}x^{k}}{x}\,dx\\ &=\int_0^1\frac{1-(1-x)^n}{x}\,dx\\ &=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}\,dx\\ &=H_n \end{align} 方法2、\(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)を差分作用素とする。このとき、 \[ \Delta^n f(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+k) \] であることが、帰納的に分かる。\(f(x)=\frac{1}{x}\)とすると、 \[ \Delta^n f(x)=\frac{(-1)^nn!}{x(x+1)\cdots(x+n)} \] であることが分かるので、 \[ \frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{1}{x+k} \] よって、 \begin{align} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}&=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\right)\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left(1-\frac{n!}{(x+1)\cdots(x+n)}\right)\\ &=-\lim_{x\to 0}\frac{d}{dx}\frac{n!}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{n!}{(x+1)\cdots(x+n)}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\cdots+\frac{1}{x+n}\right)\\ &=H_n \end{align} 方法3 \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k!k}\frac{1}{(n-k)!}=\frac{H_n}{n!} \] であることに注目して、両辺の母関数をとり、 \begin{align} e^x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!n}x^n&=\sum_{n-1}^{\infty}\frac{H_n}{n!}x^n\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!n}x^n&=e^{-x}\sum_{n-1}^{\infty}\frac{H_n}{n!}x^n \end{align} の係数を比較して、 \[ \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}H_{k}=\frac{1}{n} \] を示せばよい。 \[ (-1)^n(1-x)^n\cdot\frac{\ln(1-x)}{1-x}=(-1)^n(1-x)^{n-1}\ln(1-x) \] の\(n\)次の係数をみると、左辺は \[ \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}H_{k} \] 右辺は \begin{align} \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n-1}{k-1}\frac{1}{k}&=\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\\ &=\frac{1}{n} \end{align} であるから、示された。

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