無限級数の値

超幾何級数その1

超幾何級数を定義する。

\[ {}_rF_s\left[\begin{matrix}a_1,\ldots,a_r\\b_1,\ldots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1,\ldots,a_r)_n}{(b_1,\ldots,b_s)_nn!}x^n \] ここで、\((a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)\)である。 この級数で定義される関数を超幾何関数という。 ここではまず、Gaussの超幾何関数 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,b)_n}{(c)_nn!}z^n \] を扱う。\((a)_n=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}\)をもちいて、 \begin{align} {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,b)_n}{(c)_nn!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n\frac{\Gamma(b+n)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+n)}\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n\mathrm{B}(b+n,c-b)\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n\int_0^1x^{b+n-1}(1-x)^{c-b-1}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}(zx)^n\,dx\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx \end{align} これをGaussの超幾何関数のEuler積分表示という。 ここで、\(z=1\)とすると、 \begin{align} {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};1\right]&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1x^{b-1}(1-x)^{c-a-b-1}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\mathrm{B}(b,c-a-b)\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align} これをGaussの超幾何定理という。\(b=1\)とすると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(c)_n}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-1)}\\ &=\frac{c-1}{c-a-1} \end{align} ここで、\(c=a+m\)とすると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(a+m)_n}&=\frac{a+m-1}{m-1}\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_m(a)_n}{(a)_{m+n}}&=\frac{a+m-1}{m-1} \end{align} が得られる。特に\(a=1\)とすると、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{m!n!}{(n+m)!}=\frac{m}{m-1} \] なかなか綺麗な等式だと思う。
さて、ここでGaussの超幾何定理で、\(b\to x,c\to 1+x\)としてみよう。すると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}\frac{1}{n+x}&=\frac{1}{x}\frac{\Gamma(1+x)\Gamma(1-a)}{\Gamma(1+x-a)\Gamma(1)}\\ &=\frac{\Gamma(x)\Gamma(1-a)}{\Gamma(1+x-a)} \end{align} ここで、\(a\to 1-a,x\to b\)としてみると、 \[ \mathrm{B}(a,b)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-a)_n}{n!}\frac{1}{n+b} \] となって、ベータ関数の表示を得る。

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