無限級数の値

超幾何級数その3

前の記事で導いたEulerの変換公式

\[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=(1-z)^{c-a-b}{}_2F_1\left[\begin{matrix}c-a,c-b\\c\end{matrix};z\right] \] の両辺の\(z^n\)の係数を比較してみる。 \[ (1-z)^{a+b-c}{}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]={}_2F_1\left[\begin{matrix}c-a,c-b\\c\end{matrix};z\right] \] として、左辺の\(z^n\)の係数は \begin{align} \sum_{k=0}^{n}\frac{(a,b)_k}{(c)_kk!}\frac{(c-a-b)_{n-k}}{(n-k)!}&=\frac{(c-a-b)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{(c,1-n+a+b-c)_kk!}\\ &=\frac{(c-a-b)_n}{n!}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1-n+a+b-c\end{matrix};1\right] \end{align} であり、右辺の\(z^n\)の係数は \[ \frac{(c-a,c-b)_n}{(c)_nn!} \] である。よって、 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1-n+a+b-c\end{matrix};1\right]=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n} \] である。これをSaalschützの和公式という。 これをもちいると、\(a,b,c\)を自然数としたとき、 \begin{align} {}_3F_2\left[\begin{matrix}-a,-b,-c\\1,-a-b-c\end{matrix};z\right]&=\frac{(1+a,1+b)_c}{(1,1+a+b)_c}\\ &=\frac{(a+b)!(b+c)!(c+a)!}{a!b!c!(a+b+c)!} \end{align} 一方、 \begin{align} {}_3F_2\left[\begin{matrix}-a,-b,-c\\1,-a-b-c\end{matrix};z\right]&=\sum_{k\geq 0}\frac{(-a,-b,-c)_k}{k!^2(-a-b-c)_k}\\ &=\sum_{k\geq 0}\frac{\binom{a}{k}\binom{b}{k}{\binom{c}{k}}}{\binom{a+b+c}{k}} \end{align} であるから、 \[ \sum_{k\geq 0}\frac{\binom{a}{k}\binom{b}{k}{\binom{c}{k}}}{\binom{a+b+c}{k}}=\frac{(a+b)!(b+c)!(c+a)!}{a!b!c!(a+b+c)!} \] が得られた。これはすごい綺麗な等式! 特に\(a=b=c=n\)とすると、 \[ \sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}^3}{\binom{3n}{k}}=\frac{(2n)!^3}{n!^3(3n)!} \] となる。さて、 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1-n+a+b-c\end{matrix};1\right]=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n} \] の右辺をガンマ関数でかいてみると \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1-n+a+b-c\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(c-a+n)\Gamma(c-b+n)\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma(c+n)\Gamma(c-a-b+n)} \] ここで、\(x=-n\)とおいてみると、 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,x\\c,1+a+b+x-c\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(c-a-x)\Gamma(c-b-x)\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma(c-x)\Gamma(c-a-b-x)} \] これは\(a,b,x\)について対称な式になっている。よって、\(c,x\)を入れ替えて、 \(a,b,c\)の少なくとも1つが負の整数のとき、 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\x,1+a+b+c-x\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(x)\Gamma(x-a-b)\Gamma(x-b-c)\Gamma(x-c-a)}{\Gamma(x-a)\Gamma(x-b)\Gamma(x-c)\Gamma(x-a-b-c)} \] これは、\({}_3F_2\)超幾何級数 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};1\right] \] がbalancedという条件\(1+a+b+c=d+e\)をみたし、\(a,b,c\)の少なくとも1つが負の整数であるとき、 \[ {}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\d,e\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(d)\Gamma(d-a-b)\Gamma(d-b-c)\Gamma(d-c-a)}{\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)\Gamma(d-c)\Gamma(d-a-b-c)} \] がなりたつということである。これはなかなか美しい形をしているね。

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