無限級数の値

超幾何級数その4

ここでは超幾何級数の例をあげようと思う。

\begin{align} e^x&={}_0F_0\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};x\right]\\ \sinh x&=x\,{}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 32\end{matrix};\frac{x^2}4\right]\\ \cosh x&={}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 12\end{matrix};\frac{x^2}4\right]\\ \sin x&=x\,{}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 32\end{matrix};-\frac{x^2}4\right]\\ \cos x&={}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 12\end{matrix};-\frac{x^2}4\right]\\ \ln(1+x)&=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}1,1\\ 2\end{matrix};-x\right]\\ \arcsin x&=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}\frac 12,\frac 12\\ \frac 32\end{matrix};x^2\right]\\ \arctan x&=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}1,\frac 12\\ \frac 32\end{matrix};-x^2\right]\\ \end{align} 最初の式は明らかなので略 \begin{align} \sinh x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}\left(\frac{3}{2}\right)_nn!}x^{2n}\\ &=x\,{}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 32\end{matrix};\frac{x^2}4\right]\\ \cosh x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}\left(\frac{1}{2}\right)_nn!}x^{2n}\\ &={}_0F_1\left[\begin{matrix}-\\ \frac 12\end{matrix};\frac{x^2}4\right]\\ \end{align} \(\sin x,\cos x\)もこれを同様である。 \begin{align} \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1,1)_n}{(2)_nn!}(-x)^n\\ &=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}1,1\\ 2\end{matrix};-x\right]\\ \end{align} また、 \begin{align} \arcsin x&=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\ &=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{n!}x^{2n}\,dx\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_n}{\left(\frac 32\right)_nn!}x^{2n}\\ &=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}\frac 12,\frac 12\\ \frac 32\end{matrix};x^2\right]\\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\\ &=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(1,\frac 12\right)_n}{\left(\frac 32\right)_nn!}\left(-x^2\right)^n\\ &=x\,{}_2F_1\left[\begin{matrix}1,\frac 12\\ \frac 32\end{matrix};-x^2\right]\\ \end{align} である。 ということで、身のまわりでつかわれている関数の多くが超幾何級数であらわせることがわかる。 他にもいろいろな特殊関数が超幾何級数であらわされるのであるが、 それは僕はあまりやってないので、これからやってみたいと思っている。

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