無限級数の値

超幾何級数その5

そろそろGaussの超幾何関数の\(z=1\)以外での特殊値の求めたいので、それについてかきたいと思う。 まず、\(z=-1\)での特殊値を求める、次のKummerの定理を証明しよう。

\[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\1+a-b\end{matrix};-1\right]=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)} \] Euler積分表示より、 \begin{align} {}_2F_1\left[ \begin{matrix} b,a \\ 1+a-b \end{matrix}; -1 \right]&=\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{-b}(1+x)^{-b}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\int_0^1 x^{a-1}(1-x^2)^{-b}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)}{2\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\int_0^1 x^{a/2-1}(1-x)^{-b}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)}{2\Gamma(a)\Gamma(1-b)}\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1-b)}{\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac a2\right)}{2\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)} \end{align} これで、特別な超幾何級数は\(z=-1\)の値が求められることがわかった。 ここで、Pfaffの変換公式をもちいて、 \[ {}_2F_1\left[ \begin{matrix} a,b\\ \frac{1+a+b}{2} \end{matrix};\frac 12 \right]=2^a{}_2F_1\left[\begin{matrix} a,\frac{1+a-b}2\\ \frac{1+a+b}2 \end{matrix};-1\right] \] であり、Kummerの定理から、 \begin{align} 2^a{}_2F_1\left[\begin{matrix} a,\frac{1+a-b}2\\ \frac{1+a+b}2 \end{matrix};-1\right]&=2^a\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac a2\right)}{2^{1-a}\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\frac{\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac a2\right)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)}\frac{\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)}{\Gamma\left(\frac {1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)} \end{align} であるから、 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\ \frac{1+a+b}{2}\end{matrix};\frac 12 \right]=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+a}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+b}{2}\right)} \] を得る。例えば、\(a=b=\frac 12\)とすると、 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}\frac 12,\frac 12\\1\end{matrix};\frac 12\right]=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma\left(\frac 34\right)^2} \] これは楕円積分の特殊値になっている。さて、\(z=\frac 12\)での特殊値公式はもう1つある。 Pfaffの変換公式より、 \[ {}_2F_1\left[ \begin{matrix} a,1-a\\ c \end{matrix};\frac 12 \right]=2^a{}_2F_1\left[\begin{matrix} a+c-1,a\\ c \end{matrix};-1\right] \] Kummerの定理より、 \begin{align} 2^a{}_2F_1\left[\begin{matrix} a+c-1,a\\ c \end{matrix};-1\right]&=2^a\frac{\Gamma\left(\frac{1+a+c}2\right)\Gamma(c)}{\Gamma(a+c)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)}\\ &=\frac{2^{1-c}\sqrt{\pi}\Gamma(c)}{2^{1-a-c}\sqrt{\pi}\Gamma(a+c)}\frac{\Gamma\left(\frac{1+a+c}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac {1+c}2\right)}{\Gamma\left(\frac {a+c}2\right)\Gamma\left(\frac {1+a+c}2\right)}\frac{\Gamma\left(\frac{1+a+c}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac {1+c}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+c}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}{2}\right)} \end{align} であるから、 \[ {}_2F_1\left[ \begin{matrix} a,1-a\\ c \end{matrix};\frac 12 \right]=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac {1+c}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+c}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}{2}\right)} \] これは\(c\)の部分は自由に動かせるので、\(c\)で偏微分とかしてみたくなる。 実際やってみたら、なかなか面白いのでそれもいつか記事にしたいと思う。 さて、Kummerの定理 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\1+a-b\end{matrix};-1\right]=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)} \] で特に\(a=b\)としてみると、ガンマ関数の相反公式をもちいて、 \begin{align} {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,a\\1\end{matrix};-1\right]&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1-\frac a2\right)}\\ &=\frac 12\frac{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma\left(1-\frac a2\right)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}\frac{\Gamma(1-a)}{\Gamma\left(1-\frac a2\right)^2}\\ &=\frac 12\frac{\sin\pi a}{\sin\frac{\pi a}{2}}\frac{\Gamma(1-a)}{\Gamma\left(1-\frac a2\right)^2}\\ &=\cos\frac{\pi a}{2}\frac{\Gamma(1-a)}{\Gamma\left(1-\frac a2\right)^2}\\ \end{align} であるから、\(a=-2n\)とすると、 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}-2n,-2n\\1\end{matrix};-1\right]=(-1)^n\binom{2n}{n} \] つまり、 \[ \sum_{k=0}^{2n}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}^2=\binom{2n}{n} \] がなりたつ。綺麗な式である。

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