無限級数の値

多重対数関数その2

主に、\(\mathrm{Li}_2(z)\)の性質を調べてみたい。

\begin{align} \mathrm{Li}_2(z)&=-\int_0^z\frac{\ln(1-x)}{x}\,dx\\ &=-\int_{1-z}^1\frac{\ln x}{1-x}\,dx\\ &=\left[\ln x\ln(1-x)\right]_{1-z}^1-\int_{1-z}^1\frac{\ln(1-x)}{x}\,dx\\ &=-\ln z\ln(1-z)+\mathrm{Li}_2(1)-\mathrm{Li}_2(1-z)\\ &=\frac{\pi^2}{6}-\ln z\ln(1-z)-\mathrm{Li}_2(1-z) \end{align} よって、 \[ \mathrm{Li}_2(z)+\mathrm{Li}_2(1-z)=\frac{\pi^2}{6}-\ln z\ln(1-z) \] がなりたつ。\(z=\frac{1}{2}\)として、 \[ \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2} \] 調和数その1で導いた式、 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n}x^n=\mathrm{Li}_2(x)+\frac{\ln^2(1-x)}{2} \] をもちいて、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n}(x^n+(1-x)^n)&=\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(1-x)+\frac{\ln^2(x)+\ln^2(1-x)}{2}\\ &=\frac{\pi^2}{6}+\frac{(\ln x-\ln(1-x))^2}{2}\\ &=\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{x}{1-x}\right) \end{align} であるから、 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{2^nn}=\frac{\pi^2}{12} \] が得られる。これは非常に美しい式だと思う。次は \[ \mathrm{Li}_1(a)-\mathrm{Li}_1(ab)=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right) \] であることに注目して、より強い式を得たいと思う。

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