無限級数の値

多重対数関数その3

まず、

\begin{align} \mathrm{Li}_1(a)-\mathrm{Li}_1(ab)&=-\ln(1-a)+\ln(1-ab)\\ &=-\ln\left(\frac{1-a}{1-ab}\right)\\ &=-\ln\left(1-\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right) \end{align} ここで、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial a}\mathrm{Li}_2\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right) &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial a}\frac{a(1-b)}{1-ab}\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)^{-1}\left(\frac{1-b}{1-ab}+\frac{ab(1-b)}{(1-ab)^2}\right)\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)^{-1}\left(\frac{1-b}{(1-ab)^2}\right)\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\frac{1}{a(1-ab)}\\ \end{align} ここで、 \[ \frac{1}{a(1-ab)}=\frac{1}{a}+\frac{b}{1-ab} \] であるから、 \begin{align} (\mathrm{Li}_1(a)-\mathrm{Li}_1(ab))\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{1-ab}\right)&=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\frac{1}{a(1-ab)}\\ \frac{\mathrm{Li}_1(a)}{a}-\frac{\mathrm{Li}_1(ab)}{a}&=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\frac{1}{a(1-ab)}+\frac{b}{1-ab}(\mathrm{Li}_1(ab)-\mathrm{Li}_1(a))\\ \end{align} また、 \[ \mathrm{Li}_1(b)-\mathrm{Li}_1(ab)=\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right) \] である。 \begin{align} \frac{\partial}{\partial a}\mathrm{Li}_2\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right) &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial a}\frac{b(1-a)}{1-ab}\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)^{-1}\left(-\frac{b}{1-ab}+\frac{b^2(1-a)}{(1-ab)^2}\right)\\ &=-\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)^{-1}\frac{b(1-b)}{(1-ab)^2}\\ &=-\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\frac{1-b}{(1-a)(1-ab)} \end{align} ここで、 \[ \frac{1-b}{(1-a)(1-ab)}=\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab} \] だから、 \begin{align} 0&=-\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\frac{1-b}{(1-a)(1-ab)}+(\mathrm{Li}_1(b)-\mathrm{Li}_1(ab))\left(\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab}\right)\\ \end{align} これをさきほどの式、 \begin{align} \frac{\mathrm{Li}_1(a)}{a}-\frac{\mathrm{Li}_1(ab)}{a}&=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\frac{1}{a(1-ab)}+\frac{b}{1-ab}(\mathrm{Li}_1(ab)-\mathrm{Li}_1(a))\\ \end{align} にたし合わせて、 \begin{align} &\frac{\mathrm{Li}_1(a)}{a}-\frac{\mathrm{Li}_1(ab)}{a}\\ &=\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\frac{1}{a(1-ab)}-\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\frac{1-b}{(1-a)(1-ab)}\\ &+\frac{b}{1-ab}(\mathrm{Li}_1(ab)-\mathrm{Li}_1(a))+(\mathrm{Li}_1(b)-\mathrm{Li}_1(ab))\left(\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab}\right)\\ \end{align} ここで、 \begin{align} &\frac{b}{1-ab}(\mathrm{Li}_1(ab)-\mathrm{Li}_1(a))+(\mathrm{Li}_1(b)-\mathrm{Li}_1(ab))\left(\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab}\right)\\ &=\frac{2b}{1-ab}\mathrm{Li}_1(ab)-\frac{b}{1-ab}(\mathrm{Li}_1(a)+\mathrm{Li}_1(b))-\frac{\mathrm{Li}_1(ab)}{1-a}+\frac{\mathrm{Li}_1(b)}{1-a}\\ &=\frac{\partial}{\partial a}\left(\mathrm{Li}_1^2(ab)-(\mathrm{Li}_1(a)+\mathrm{Li}_1(b))\mathrm{Li}_1(ab)+\mathrm{Li}_1(a)\mathrm{Li}_1(b)\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial a}(\mathrm{Li}_1(a)-\mathrm{Li}_1(ab))(\mathrm{Li}_1(b)-\mathrm{Li}_1(ab))\\ &=\frac{\partial}{\partial a}\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right) \end{align} \begin{align} &\frac{\partial}{\partial a}(\mathrm{Li}_2(a)-\mathrm{Li}_2(ab))\\ &=\frac{\partial}{\partial a}\left(\mathrm{Li}_2\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\right) \end{align} よって、 \begin{align} &\mathrm{Li}_2(a)-\mathrm{Li}_2(ab)\\ &=\mathrm{Li}_2\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)+C(b) \end{align} ここで、\(a=0\)を代入することによって、 \[ C(b)=-\mathrm{Li}_2(b) \] であるから、 \begin{align} &\mathrm{Li}_2(a)+\mathrm{Li}_2(b)-\mathrm{Li}_2(ab)\\ &=\mathrm{Li}_2\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)+\mathrm{Li}_1\left(\frac{a(1-b)}{1-ab}\right)\mathrm{Li}_1\left(\frac{b(1-a)}{1-ab}\right)\\ \end{align} ここで、\(x=\frac{a(1-b)}{1-ab},y=\frac{b(1-a)}{1-ab}\)とすると、 \[ \mathrm{Li}_2(a)+\mathrm{Li}_2(b)-\mathrm{Li}_2(ab)=\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(y)+\mathrm{Li}_1(x)\mathrm{Li}_1(y) \] が得られる。\(a,b\)について解くと、 \[ a=\frac{x}{1-y},\quad b=\frac{y}{1-x} \] のとき、 \[ \mathrm{Li}_2(a)+\mathrm{Li}_2(b)-\mathrm{Li}_2(ab)=\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(y)+\mathrm{Li}_1(x)\mathrm{Li}_1(y) \] である。

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