無限級数の値

多重対数関数その4

ここでは、前の記事で求めた強い等式

\[ a=\frac{x}{1-y},\quad b=\frac{y}{1-x} \] のとき、 \[ \mathrm{Li}_2(a)+\mathrm{Li}_2(b)-\mathrm{Li}_2(ab)=\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(y)+\mathrm{Li}_1(x)\mathrm{Li}_1(y) \] をもちいて、黄金比\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)に関連する特殊値を求めていきたいと思う。 まず、\(\pm 1\)について、 \[ \phi+1=\phi^2,\quad \phi-1=\frac{1}{\phi} \] がなりたつことを確認しておく。まず、 \[ \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-\ln x\ln(1-x) \] に\(x=\frac{1}{\phi}\)を代入すると、 \[ \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi \] ここで、 \begin{align} \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(-x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n+(-x)^n}{n^2}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n^2}\\ &=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2(x^2) \end{align} であるから、 \begin{align} \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)&=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi\\ \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)&=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi\\ \frac{3}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)&=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi\\ 3\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)-2\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)&=\frac{\pi^2}{3}-4\ln^2\phi\\ \end{align} さて、ここで \[ \mathrm{Li}_2(a)+\mathrm{Li}_2(b)-\mathrm{Li}_2(ab)=\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(y)+\mathrm{Li}_1(x)\mathrm{Li}_1(y) \] にいろいろ代入していくわけであるが、\(x=y=-\frac{1}{\phi}\)とすると、 \[ 2\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)=2\mathrm{Li}_2(-\phi)+4\ln^2\phi \] ここで、 \[ \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi^2}{6}-\frac{\ln^2(-x)}{2} \] に\(x=-\frac{1}{\phi}\)を代入することによって、 \[ \mathrm{Li}_2(-\phi)=-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)-\frac{\pi^2}{6}-\frac{\ln^2\phi}{2} \] であるから、 \[ 4\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)=3\ln^2\phi-\frac{\pi^2}{3} \] が得られる。これをさきほどの式 \begin{align} 3\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)-2\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)=\frac{\pi^2}{3}-4\ln^2\phi\\ \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi \end{align} と連立させて、値を求めると、 \begin{align} \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi}\right)&=\frac{\pi^2}{10}-\ln^2\phi\\ \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)&=\frac{\ln^2\phi}{2}-\frac{\pi^2}{15}\\ \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^2}\right)&=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\phi \end{align} が得られる。この値が求められるのは美しい!

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