無限級数の値

多重対数関数その5

ここでは、二重対数関数をもちいて、

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{(2\cos x)^nn^2}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{x^2+\ln^2(2\cos x)}{2} \] という等式を証明しようと思う。見た目からして面白い等式ではあるが、 なかなか証明が思いつかないかもしれない。 ここで紹介するのは、僕は最初にこの式を見つけた方法とは異なる方法であり、 非常に簡単である。 \[ \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-\ln x\ln(1-x) \] に、\(x=\frac{1}{1+e^{2x}}\)を代入すると、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2(1+e^{2x})^n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2(1+e^{-2x})^n}&=\frac{\pi^2}{6}-\ln(1+e^{2x})\ln(1+e^{-2x})\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{(1+e^{2x})^n}+\frac{1}{(1+e^{-2x})^n}\right)&=\frac{\pi^2}{6}-(\ln(2\cosh x)+x)(\ln(2\cosh x)-x)\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\frac{e^{nx}+e^{-nx}}{(2\cosh x)^n}&=\frac{\pi^2}{6}+x^2-\ln^2(2\cosh x)\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cosh nx}{(2\cosh x)^nn^2}&=\frac{\pi^2}{12}+\frac{x^2-\ln^2(2\cosh x)}{2}\\ \end{align} 最後の式で、\(x\to ix\)とすれば、最初の式 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{(2\cos x)^nn^2}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{x^2+\ln^2(2\cos x)}{2} \] が得られる。収束する範囲を考えると、\(x=\pm{\frac{\pi}{3}}\)ぐらいが境界になっているだろう。 具体的な値で計算してみよう。 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n/2}n^2}\cos\frac{\pi n}{4}=\frac{5\pi^2}{96}-\frac{\ln^2 2}{8}\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n/2}n^2}\cos\frac{\pi n}{6}=\frac{5\pi^2}{72}-\frac{\ln^2 3}{8} \end{align} 結構面白い見た目をしていると思う。この証明は \[ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 \] がなりたつことを利用している。この式を覚えておくといろいろ役に立つことが多い。

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