無限級数の値

\(q\)超幾何級数その1

\(q\)超幾何級数の定義、まず\(q\)-Pochhammer記号を

\begin{align} &(a;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)\\ &(a;q)_{-n}=\frac{1}{\prod_{k=1}^n(1-aq^{-k})}\\ &(a;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-aq^n)\\ &(a_1,\ldots,a_r;q)_n=(a_1;q)_n\cdots(a_r;q)_n\\ \end{align} で定義する。それをもちいて、\(q\)超幾何級数を \[ {}_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,\ldots,a_r\\b_1,\ldots,b_s\end{matrix};q;z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1,\ldots,a_r;q)_n}{(b_1,\ldots,b_s,q;q)_n}\left((-1)^nq^{\binom n2}\right)^{1+s-r}z^n \] で定義する。ここで、底が\(q\)のとき、 \[ {}_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,\ldots,a_r\\b_1,\ldots,b_s\end{matrix};q;z\right]={}_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,\ldots,a_r\\b_1,\ldots,b_s\end{matrix};z\right] \] と省略する。さて、まず始めに \[ f(z)={}_1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n \] について考える。 \begin{align} f(z)-f(zq)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(1-q^n)z^n\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_{n-1}}z^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_{n+1}}{(q;q)_n}z^{n+1}\\ &=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(1-aq^n)z^n\\ &=zf(z)-azf(zq)\\ \end{align} よって、 \begin{align} &(1-z)f(z)=(1-az)f(zq)\\ &f(z)=\frac{1-az}{1-z}f(zq) \end{align} である。これを繰り返しもちいて、 \begin{align} f(z)&=\frac{1-az}{1-z}\frac{1-azq}{1-zq}\frac{1-azq^2}{1-zq^2}\cdots\\ &=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}} \end{align} よって、 \[ {}_1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}} \] これを\(q\)二項定理という。ここで、\(a=0\)とすると、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(q;q)_n}{z^n}=\frac{1}{(z;q)_{\infty}} \] また、\(z\to \frac{z}{a}\)として、\(a\to\infty\)とすると、 \[ \lim_{a\to\infty}\frac{(a;q)_n}{a^n}=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{a}-q^k\right)=(-1)^nq^{\binom{n}{2}} \] より、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(q;q)_n}q^{\binom{n}{2}}z^n=(z;q)_{\infty} \] この2つを\(q\)指数関数という。 \[ \lim_{q\to 1}((1-q)z;q)_{\infty}=e^{-z} \] であることが分かる。 ここで、\(q\)二項係数を \[ \binom{n}{k}_q=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}} \] とする。これは二項係数の\(q\)類似になっている。 \(a=q^{n+1}\)とすると、 \[ \frac{(zq^{n+1};q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\frac{1}{(z;q)_{n+1}} \] より、 \begin{align} \frac{1}{(z;q)_{n+1}}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q^{n+1};q)_k}{(q;q)_k}z^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q;q)_{n+k}}{(q;q)_n(q;q)_k}z^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}_qz^k \end{align} よって、 \[ \frac{1}{(z;q)_{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}_qz^k \] が得られる。 \begin{align} (q^{-n};q)_k&=\prod_{i=0}^{k-1}(1-q^{-n+i})\\ &=(-1)^kq^{\binom{k}{2}-nk}\prod_{i=0}^{k-1}(1-q^{n-i})\\ &=(-1)^kq^{\binom{k}{2}-nk}\prod_{i=n-k+1}^{n}(1-q^i)\\ &=(-1)^kq^{\binom{k}{2}-nk}\frac{\prod_{i=1}^n(1-q^i)}{\prod_{i=1}^{n-k}n(1-q^i)}\\ &=(-1)^kq^{\binom{k}{2}-nk}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}} \end{align} また、\(z\to zq^n,\,a\to q^{-n}\)として、 \begin{align} (z;q)_n&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}(zq^n)^k\\ &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kq^{\binom{k}{2}-nk}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}z^kq^{nk}\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}_q q^{\binom k2}z^k \end{align} これは二項定理、 \[ (1-z)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk z^k \] の\(q\)類似になっているのでこれも\(q\)二項定理という。

スタイル変更

サイト内検索

人気記事

関連記事


created in 2019