無限級数の値

\(q\)超幾何級数その2

さて、前の記事で導出した\(q\)二項定理

\[ \frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n \] をもちいて、 \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}z^n\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\frac{(cq^n;q)_{\infty}}{(bq^n;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}(bq^n)^k\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^k\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^nq^{nk}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^k\frac{(azq^k;q)_{\infty}}{(zq^k;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(b,az;q)_{\infty}}{(c,z;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(c/b,z)_k}{(az,q;q)_k}b^k\\ &=\frac{(b,az;q)_{\infty}}{(c,z;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/b,z\\az\end{matrix};b\right] \end{align} よって、 \[ {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\frac{(b,az;q)_{\infty}}{(c,z;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/b,z\\az\end{matrix};b\right] \] これをそのままもう一度行うともとに戻るが、\(c/b,z\)を入れ替えて、 \[ {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}z,c/b\\az\end{matrix};b\right]=\frac{(c/b,bz;q)_{\infty}}{(az,b;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}abz/c,b\\bz\end{matrix};\frac{c}{b}\right] \] であるから、またもう一度それを行うと、 \[ {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}b,abz/c\\bz\end{matrix};c/b\right]=\frac{(abz/c,c)_{\infty}}{(bz,c/b)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/a,c/b\\c\end{matrix};\frac{abz}{c}\right] \] よって、 \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]&=\frac{(b,az;q)_{\infty}}{(c,z;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/b,z\\az\end{matrix};b\right]\\ &=\frac{(c/b,bz;q)_{\infty}}{(c,z;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}abz/c,b\\bz\end{matrix};\frac{c}{b}\right]\\ &=\frac{(abz/c;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/a,c/b\\c\end{matrix};\frac{abz}{c}\right] \end{align} これらをHeineの変換公式という。最後の式だけ\(a,b\)に対して対称的で、より美しい形をしている。これはEulerの変換 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=(1-z)^{c-a-b}{}_2F_1\left[\begin{matrix}c-a,c-b\\c\end{matrix};z\right] \] の\(q\)類似になっている。さて、最初の式において、\(z=\frac{c}{ab}\)を代入して、 \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};\frac{c}{ab}\right]&=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}c/b,c/ab\\c/b\end{matrix};b\right]\\ &=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}{}_1\phi_0\left[\begin{matrix}c/ab\\-\end{matrix};b\right]\\ &=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}\frac{(c/a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}} \end{align} これをHeineの和公式という。これはGaussの超幾何定理 \[ {}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};1\right]=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \] の\(q\)類似になっている。また\(a=q^{-n}\)とすると、 \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}b,q^{-n}\\c\end{matrix};\frac{cq^n}{b}\right]&=\frac{(cq^n,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq^n/b;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n} \end{align} これを\(q\)-Vandermondeの恒等式という。また、 \begin{align} (a;q)_{n-k}&=\prod_{i=0}^{n-k-1}(1-aq^i)\\ &=\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(1-aq^i)}{\prod_{i=n-k}^{n-1}(1-aq^i)}\\ &=\frac{(a;q)_n}{\prod_{i=0}^{k-1}(1-aq^{n-i-1})}\\ &=\frac{(a;q)_n}{\left(-\frac{a}{q}\right)^kq^{nk-\binom k2}\prod_{i=0}^{k-1}(1-q^{1-n+i}/a)}\\ &=\frac{(a;q)_n}{(q^{1-n}/a;q)_k}q^{\binom{k}{2}-nk}\left(-\frac{q}{a}\right)^k \end{align} \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}b,q^{-n}\\c\end{matrix};\frac{cq^n}{b}\right]&=\sum_{k=0}^n\frac{(b,q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_k}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{(b,q^{-n};q)_{n-k}}{(c,q;q)_{n-k}}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^{n-k}\\ &=\frac{(b,q^{-n};q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{1-n}/c,q^{-n};q)_k}{(q^{1-n}/b,q;q)_k}\left(\frac{cq}{bq^{-n}}\right)^k\left(\frac{b}{cq^n}\right)^k\\ &=(-1)^nq^{\binom n2-n^2}\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\left(\frac{cq^n}{b}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(q^{1-n}/c,q^{-n};q)_k}{(q^{1-n}/b,q;q)_k}q^k\\ &=(-1)^nq^{\binom n2}\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\left(\frac{c}{b}\right)^n{}_2\phi_1\left[\begin{matrix}q^{1-n}/c,q^{-n}\\q^{1-n}/b\end{matrix};q\right] \end{align} よって、 \[ {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}q^{1-n}/c,q^{-n}\\q^{1-n}/b\end{matrix};q\right]=(-1)^nq^{-\binom n2}\frac{(c/b;q)_n}{(b;q)_n}\left(\frac{b}{c}\right)^n \] ここで、\(b\to q^{1-n}/c,c\to q^{1-n}/b\)として、 \begin{align} {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}b,q^{-n}\\c\end{matrix};q\right]&=(-1)^nq^{-\binom n2}\frac{(c/b;q)_n}{(q^{1-n}/c;q)_n}\left(\frac{b}{c}\right)^n\\ &=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n \end{align} よって、 \[ {}_2\phi_1\left[\begin{matrix}b,q^{-n}\\c\end{matrix};q\right]=\frac{(c/b;q)_n}{(c;q)_n}b^n \] こちらの方がさっきの式よりも綺麗な気がする。

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