無限級数の値

\(\sin\)の無限積

ここでは、準備として\(\sin\)の無限積

\[ \sin\pi x=\pi x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right) \] を証明する。 まず、\(\cos\)の\(n\)倍角は\(\cos\)の多項式でかける。自然数\(n\)に対して、 \[ \frac{\sin nx}{n\sin x}=f_{n-1}(\cos x) \] とする。\(f_0(x)=1\)であることと、 \begin{align} f_n(\cos x)&=\frac{\sin(n+1)x}{(n+1)\sin x}\\ &=\frac{n}{n+1}\frac{\sin nx\cos x+\sin x\cos nx}{n\sin x}\\ &=\frac{n}{n+1}f_{n-1}(\cos x)\cos x+\frac{1}{n+1}\cos nx \end{align} より、\(f_n(x)\)は\(n\)次の多項式である。 \[ f_{2n}(\cos x)=\frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)\sin x} \] において、\(x\to\pi-x\)とすると、 \[ f_{2n}(-\cos x)=\frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)\sin x}=f_{2n}(\cos x) \] よって、これは偶関数だから、\(f_{2n}(\cos x)\)は\(\sin x\)の多項式でかける。 それを\(g_{2n}(x)\)として、零点を考えると、 \[ g_{2n}(x)=C_{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left(x-\sin\frac{\pi k}{2n+1}\right) \] ここで、\(C_{2n}\)は定数である。 \[ \frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)\sin x}=C_{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left(\sin x-\sin \frac{\pi k}{2n+1}\right) \] ここで、\(x\to 0\)とすることによって、 \[ C_{2n}=\prod_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sin\frac{\pi k}{2n+1}} \] これを代入して、 \begin{align} \frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)\sin x}&=\prod_{k=1}^{2n}\left(1-\frac{\sin x}{\sin\frac{\pi k}{2n+1}}\right)\\ &=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin x}{\sin\frac{\pi k}{2n+1}}\right)\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin x}{\sin\frac{\pi (2n+1-k)}{2n+1}}\right)\\ &=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin x}{\sin\frac{\pi k}{2n+1}}\right)\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{\sin x}{\sin\frac{\pi k)}{2n+1}}\right)\\ &=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin^2 x}{\sin^2\frac{\pi k}{2n+1}}\right) \end{align} ここで、\(x\to \frac{x}{2n+1}\)とすると、 \[ \frac{\sin x}{(2n+1)\sin\frac{x}{2n+1}}=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin^2\frac{x}{2n+1}}{\sin^2\frac{\pi k}{2n+1}}\right) \] であり、\(n\to\infty\)とすることによって、 \[ \frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{x^2}{\pi^2k^2}\right) \] よって、 \[ \sin\pi x=\pi x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right) \]

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