Stirling数その1
第1種Stirling数を定義する。
\[ (x)_n=\sum_{k=0}^ns_{n,k}x^k \] ここで、\((x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)\)はPochhammer記号である。 この\(s_{n,k}\)を第1種Stirling数という。上記の添字の範囲外では\(0\)と定義する。 まず、\(x=1,2,-1\)を代入すると、それぞれ、 \begin{align} \sum_{k=0}^ns_{n,k}&=n!\\ \sum_{k=0}^n2^ks_{n,k}&=(n+1)!\\ \sum_{k=0}^n(-1)^ks_{n,k}&=0 \end{align} 最後の式は\(n\geq 1\)で成り立つ。 \begin{align} \sum_{k=0}^{n+1}s_{n+1,k}x^k&=(x)_{n+1}\\ &=(x+n)(x)_n\\ &=(x+n)\sum_{k=0}^ns_{n,k}x^k\\ &=\sum_{k=0}s_{n,k}x^{k+1}+\sum_{k=0}^nns_{n,k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}s_{n,k-1}x^k+\sum_{k=0}^{n+1}ns_{n,k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}(s_{n,k-1}+ns_{n,k})x^k \end{align} よって漸化式、 \[ s_{n+1,k}=s_{n,k-1}+ns_{n,k} \] を得る。これをもちいて具体的に計算すると、 \begin{align} \begin{array}{ccccc} 1\\ 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 6 & 11 & 6 & 1\\ 0 & 24 & 50 & 35 & 10 & 1 \end{array} \end{align} のようになる。 \[ (x)_n=\sum_{k=0}^ns_{n,k}x^k \] の両辺を\(x\)で微分して、\(x=1\)とすると、 \[ \sum_{k=0}^nks_{n,k}=n!H_n \] を得る。また、 \[ (x)_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}s_{n+1,k}x^k \] の両辺を\(x\)で割って、 \[ (x+1)_n=\sum_{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}x^{k-1} \] \(x\)で微分して、 \[ (x+1)_n\{x+1\}_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)s_{n+1,k}x^{k-2} \] ここで、\(\{x\}_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{x+k}\)で、\(x=0\)とすると、 \[ s_{n+1,2}=n!H_n \] が得られる。ここで、下降べき \[ x^{\underline{n}}=x(x-1)\cdots(x-n+1) \] も展開してみたい、 \[ x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)_n \] より、 \[ x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}s_{n,k}x^k \] である。特に\(x=n\)として、 \[ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}s_{n,k}n^k=n! \] が得られる。