Stirling数その6
Stirling数その2で求めた、 一般項をもちいて面白いことをしたい。
\[ S_{n,k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n \] \(f\)をMaclaurin展開できる関数とする。 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}S_{n,k}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n\\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}i^n\\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}f(i) \end{align} よって、等式 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}S_{n,k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}f(i) \] ここで、\(f\)を\(x\)だけ平行移動して、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}S_{n,k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}f(x+i) \] この左辺は前進差分\(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)をもちいて、 \[ \Delta^kf(x) \] とかけるから、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}S_{n,k}=\frac{1}{k!}\Delta^kf(x) \] ここで、\(f(x)=\frac 1x\)としてみると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}S_{n,k}&=\frac{(-1)^k}{x(x+1)\cdots(x+k)}\\ \frac{1}{(x+1)\cdots(x+k)}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-k}S_{n,k}}{x^n} \end{align} これをもちいて、 \begin{align} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-z)^k}{(x+1)\cdots(x+k)}&\sim\sum_{k=0}^{\infty}z^k\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nS_{n,k}}{x^n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{x^n}\sum_{k=0}^{\infty}S_{n,k}z^k\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^n}B_n(z) \end{align} よって、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^n}{(x+1)\cdots(x+n)}\sim\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^n}B_n(z) \] のようにBell多項式をもちいて漸近展開される。特に、\(z=1\)として、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(x+1)\cdots(x+n)}\sim\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^n}B_n \] また、等式左辺は合流型超幾何関数 \[ {}_1F_1\left[\begin{matrix}1\\1+x\end{matrix};-z\right] \] だから、Kummerの変換公式より、 \[ {}_1F_1\left[\begin{matrix}1\\1+x\end{matrix};-z\right]=e^{-z}{}_1F_1\left[\begin{matrix}x\\1+x\end{matrix};z\right] \] よって、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!(n+x)}\sim e^z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}B_n(z) \] が得られる。これを\(k\)階微分してみると、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!(n+x)^{k+1}}\sim e^z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^{n+k+1}}\binom{n+k}{k}B_n(z) \] \(k\)を連続変数に一般化することはできるだろうか？できそうなので、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!(n+x)^s}\sim e^z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(s)_n}{n!}\frac{B_n(z)}{x^{n+s}} \] とかいてみる。