Stirling数その7
Stirling数その3で導出した式、
\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^n=\sum_{k=0}^nS_{n,k}x^k\frac{d^k}{dx^k} \] の一般化を考えてみたいと思う。具体的には、\(a\)を定数として、 \[ \left(x^{1+a}\frac{d}{dx}\right)^n \] を展開してみたい。さて、帰納的に、 \begin{align} \left(x^{1+a}\frac{d}{dx}\right)^nx^k&=k(k+a)(k+2a)\cdots(k+(n-1)a)x^{k+na}\\ &=a^n\left(\frac{k}{a}\right)_nx^{k+na}\\ &=a^nx^{k+na}\sum_{i=0}^ns_{n,i}\left(\frac{k}{a}\right)^i\\ &=x^{k+na}\sum_{i=0}^ns_{n,i}a^{n-i}k^i \end{align} ここで、\(s_{n,k}\)は第1種Stirling数である。 これをMaclaurin展開 \[ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \] にもちいると、 \begin{align} \left(x^{1+a}\frac{d}{dx}\right)^nf(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k+na}\sum_{i=0}^ns_{n,i}a^{n-i}k^i\\ &=x^{na}\sum_{i=0}^ns_{n,i}a^{n-i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^if^{(k)}(0)}{k!}x^{k}\\ &=x^{na}\sum_{i=0}^ns_{n,i}a^{n-i}\sum_{k=0}^{i}S_{i,k}x^kf^{(k)}(x)\\ &=x^{na}\sum_{k=0}^nx^kf^{(k)}(x)\sum_{i=0}^ns_{n,i}S_{i,k}a^{n-i} \end{align} \(a=0,-1\)としても成り立つので、これが一般化になっていることを確認することができる。 ここで、多項式を \[ S_{n,k}(a)=\sum_{i=0}^ns_{n,i}S_{i,k}a^{n-i} \] と定義すれば、この等式は \[ \left(x^{1+a}\frac{d}{dx}\right)^nf(x)=x^{na}\sum_{k=0}^nS_{n,k}(a)x^kf^{(k)}(x) \] とかけるから、作用素としての等式、 \[ \left(x^{1+a}\frac{d}{dx}\right)^n=x^{na}\sum_{k=0}^nS_{n,k}(a)x^k\frac{d^k}{dx^k} \] がなりたつ。ここで、 \begin{align} S_{n,k}(0)&=S_{n,k}\\ S_{n,k}(-1)&=\delta_{nk} \end{align} などが分かる。