Stirling数その8
ここで、\(S_{n,n-k}\)が\(n\)に関して多項式であることを考えてみよう。
\[ S_k(n)=S_{n,n-k} \] とすると、 \[ S_{n+1,n-k}=S_{n,n-k-1}+(n-k)S_{n,n-k} \] つまり、 \[ S_{k+1}(n)=S_{k+1}(n)+(n-k)S_k(n) \] \(S_k(n)\)が多項式であることから帰納的に、\(S_{k+1}(n)\)が多項式であることが分かる。 さて、これは差分の形、 \[ \Delta S_{k+1}(n)=(n-k)S_k(n) \] にかけるから、 \[ S_k(n)=\sum_{i\geq 0}S_{k,i}^{*}n^{\underline{i}} \] とおいてみると、 \begin{align} \sum_{i\geq 0}iS_{k+1,i}^{*}n^{\underline{i-1}}&=(n-k)\sum_{i\geq 0}S_{k,i}^{*}n^{\underline{i}}\\ \sum_{i\geq 0}(i+1)S_{k+1,i+1}^{*}n^{\underline{i}}&=\sum_{i\geq 0}S_{k,i}^{*}(n^{\underline{i+1}}+(i-k)n^{\underline{i}})\\ \sum_{i\geq 0}(i+1)S_{k+1,i+1}^{*}n^{\underline{i}}&=\sum_{i\geq 0}(S_{k,i-1}^{*}+(i-k)S_{k,i}^{*})n^{\underline{i}}\\ \end{align} よって、 \[ (k+1)S_{n+1,k+1}^{*}=S_{n,k-1}^{*}-(n-k)S_{n,k}^{*} \] ここで、漸化式の形から、\(R_{n,k}=S_{n,n+k}^{*}\)とすると、 \[ (n+k+1)R_{n+1,k}=R_{n,k-1}+kR_{n,k} \] である、具体的に計算すると、 \begin{align} \begin{array}{ccccc} 1\\ 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{8}\\ 0 & \frac{1}{24} & \frac{1}{12} & \frac{1}{48}\\ 0 & \frac{1}{120} & \frac{5}{144} & \frac{1}{48} & \frac{1}{384}\\ \end{array} \end{align} のようになる。途中までは\(\frac 1n\)の形になるのかなと思ったが、 そうじゃないやつが現れてしまったね。さて、これによって、 \[ S_{n,n-k}=\sum_{i=0}^kR_{k,i}n^{\underline{k+i}} \] とあらわすことができる。また、\(r_{n,k}=(n+k)!R_{n,k}\)とあらわすと、 \[ (n+k+1)!R_{n+1,k}=(n+k)!R_{n,k-1}+k(n+k)!R_{n,k} \] であるから、 \[ r_{n+1,k}=(n+k)r_{n,k-1}+kr_{n,k} \] が得られ、 \[ S_{n,n-k}=\sum_{i=0}^{k}r_{k,i}\binom{n}{k+i} \] とあらわすことができる。 これは整数であるから、計算がしやすそうなので、計算してみると。 \begin{align} \begin{array}{ccccc} 1\\ 0 & 1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 10 & 15\\ 0 & 1 & 25 & 105 & 105\\ 0 & 1 & 56 & 490 & 1260 & 945\\ \end{array} \end{align} のようになる。