Stirling数その9
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\[ S_{n,n-k}=\sum_{i=0}^kR_{k,i}n^{\underline{k+i}} \] はそれだけでは何につかうのかよくわからないかもしれない。 これを無限級数に応用したいと思う。\(f(x)\)をMaclaurin展開できる関数とする。 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{n!}x^n&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}n^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!}x^n\\ &=e^x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}B_k(x) \end{align} ここで、\(B_n(x)\)はStirling数その4であつかったBell多項式である。よって、 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{n!}x^n=e^x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}B_n(x) \] である。Bell多項式を展開して更に計算していくと \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}B_n(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\sum_{k\geq 0}S_{n,n-k}x^{n-k}\\ &=\sum_{k\geq 0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}S_{n,n-k}x^{n-k} \end{align} ここで、最初の式 \[ S_{n,n-k}=\sum_{i=0}^kR_{k,i}n^{\underline{k+i}} \] をもちいて、 \begin{align} \sum_{k\geq 0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}S_{n,n-k}x^{n-k}&=\sum_{k\geq 0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n-k}\sum_{i\geq 0}R_{k,i}n^{\underline{k+i}}\\ &=\sum_{k,i\geq 0}R_{k,i}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k-i)!}x^{n-k}\\ &=\sum_{k,i\geq 0}R_{k,i}x^i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n+k+i)}(0)}{n!}x^n\\ &=\sum_{k,i\geq 0}R_{k,i}x^if^{(k+i)}(x)\\ &=\sum_{k\geq 0}f^{(k)}(x)\sum_{i=0}^kR_{k-i,i}x^i\\ &=\sum_{k\geq 0}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\sum_{i\geq 0}r_{k-i,i}x^i\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}r_k(x) \end{align} ここで、 \begin{align} r_{n,k}&=(n+k)!R_{n,k}\\ r_n(x)&=\sum_{k\geq 0}r_{n-k,k}x^k \end{align} とおいた。よって、 \[ e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}r_n(x) \] これは、面白い式である。一般に左辺が収束しても右辺は収束するとは限らないが、 漸近展開にはなっていることが期待できるかもしれない。 定義より\(r_n(x)\)は\([n/2]\)次以下の多項式であることが分かる。 例えば、\(f(x)\)が\(n\)次の多項式のとき、 \[ e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n)}{n!}x^n=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}r_k(x) \] というふうに有限和にかきかえることができる。