\(\tan\)の高階微分についてその1
\(\tan\)の高階微分について、なにか思いつきそうだったので、 とりあえず、かきたいと思う。まず、
\[ \frac{d^n}{dx^n}\tan x=\sum_{k=0}^{n+1}T_{n,k}\tan^k x \] として、係数\(T_{n,k}\)を定義する。 また、上記の添字の範囲外では、\(0\)と定義する。このとき、 \begin{align} \sum_{k=0}^{n+2}T_{n+1,k}\tan^k x&=\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\tan x\\ &=\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{n+1}T_{n,k}\tan^k x\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}T_{n,k}k\tan^{k-1} x(1+\tan^2 x)\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}T_{n,k}k\tan^{k-1} x+\sum_{k=0}^{n+1}T_{n,k}k\tan^{k+1} x\\ &=\sum_{k=0}^{n+2}((k+1)T_{n,k+1}+(k-1)T_{n,k-1})\tan^k x \end{align} よって、 \[ T_{n+1,k}=(k-1)T_{n,k-1}+(k+1)T_{n,k+1} \] ここで、\(\tan (x+a)\)を\(a\)についてMaclaurin展開すると、 \begin{align} \tan(x+a)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\tan x\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}T_{n,k}\tan^k x\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\tan^k x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,k}}{n!}a^n \end{align} ここで、\(x\to \arctan x\)とすると、 \[ \tan(a+\arctan x)=\sum_{k=0}^{\infty}x^k\sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,k}}{n!}a^n \] 一方、左辺は\(\tan\)の加法定理より、 \begin{align} \tan(a+\arctan x)&=\frac{x+\tan a}{1-x\tan a}\\ &=(x+\tan a)\sum_{n=0}^{\infty}x^n\tan^n a\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}\tan^n a+\sum_{n=0}^{\infty}x^n\tan^{n+1}a\\ &=\tan a+\sum_{n=1}^{\infty}(\tan^{n-1}a+\tan^{n+1}a)x^n\\ &=\tan a+\sum_{n=1}^{\infty}\tan^{n-1}a(1+\tan^2 a)x^n \end{align} よって両辺の\(x\)の係数を比較すると、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,0}}{n!}a^n&=\tan a\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,k}}{n!}a^n&=\tan^{k-1}a(1+\tan^2 a) \end{align} 変数を\(x\)になおして、 \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,0}}{n!}x^n&=\tan x\\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,k}}{n!}x^n&=\tan^{k-1}x(1+\tan^2 x) \end{align} を得る。さて、\(k=1\)としてみよう。 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_{n,1}}{n!}x^n=1+\tan^2 x \] よって、 \[ \tan^2x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{T_{n,1}}{n!}x^n \] また、 \begin{align} \tan^3 x&=\tan x(1+\tan^2 x)-\tan x\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{T_{n,2}-T_{n,0}}{n!}x^n\\ \tan^4 x&=\tan^2 x(1+\tan^2 x)-\tan^2 x\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{T_{n,3}-T_{n,1}}{n!}x^n\\ \end{align} 以下同様にすると、\(m\)を自然数として、 \[ \tan^m x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\sum_{k\geq 0}(-1)^kT_{n,m-2k-1} \] が得られる。これは結構面白いと思う。