無限級数の値

三角関数の部分分数分解

\(\sin\)の無限積を対数微分する。

\begin{align} \pi\cot\pi x&=\frac{d}{dx}\ln\left(\pi x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\right)\\ &=\frac{1}{x}+\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\\ &=\frac{1}{x}+2x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2-n^2}\\ &=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2-n^2} \end{align} 同様に\(\cos\pi x\)の対数微分をすることにより、 \begin{align} \pi\tan\pi x&=8x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2-4x^2}\\ &=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2-x^2} \end{align} ここで、 \[ \frac{1}{\sin x}=\cot\frac{x}{2}-\cot x \] より、 \begin{align} \frac{\pi}{\sin\pi x}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{2x}{x^2-4n^2}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2-n^2}\\ &=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^2-n^2} \end{align} これは、 \[ \frac{\pi}{\sin\pi x}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^n}{x+n} \] とかける。よって、 \begin{align} \frac{\pi}{\cos\pi x}&=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^n}{x+\frac{1}{2}+n}\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{x+\frac 12+n}-\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{x-\frac 12-n}\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^{n-1}(2n+1)}{x-\left(\frac 12+n\right)^2}\\ &=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\left(n+\frac 12\right)}{\left(n+\frac 12\right)^2-x^2}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n\left(n+\frac 12\right)}{\left(n+\frac 12\right)^2-x^2} \end{align} まとめると、 \begin{align} \pi\cot\pi x&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2-n^2}\\ \pi\tan\pi x&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2-x^2}\\ \frac{\pi}{\sin\pi x}&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^2-n^2}\\ \frac{\pi}{\cos\pi x}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n\left(n+\frac 12\right)}{\left(n+\frac 12\right)^2-x^2} \end{align} また、\(x\to ix\)とすることによって、 \begin{align} \pi\coth\pi x&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}\\ \pi\tanh\pi x&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2+x^2}\\ \frac{\pi}{\sinh\pi x}&=x\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+x^2}\\ \frac{\pi}{\cosh\pi x}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n\left(n+\frac 12\right)}{\left(n+\frac 12\right)^2+x^2} \end{align}

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