無限級数の値

Wilsonの定理の証明

Wilsonの定理は、\(p\)が素数のとき、

\[ (p-1)!\equiv -1 \pmod p \] がなりたつというものである。\(p=2\)のときは明らかなので、\(p\)を奇素数とする。 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)は体であるから、 その上の\(n\)次多項式の根の個数は\(n\)個以下である。これは、因数定理 \[ f(a)=0\Leftrightarrow (x-a)|f \] と次数\(n\)に関する数学的帰納法によってわかる。 よって、\(p-1\)次以下の\(0\)でない多項式は\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)において、恒等的に\(0\)ではない。 Fermatの小定理より、 \[ \forall x\in \{0,1,\ldots,p-1\},\quad x^p-x\equiv 0 \pmod p \] 一方 \[ \forall x\in \{0,1,\ldots,p-1\},\quad x(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)\equiv 0 \pmod p \] この2つの差は\(p-1\)次以下の多項式だから、\(0\)である。よって、 \[ x(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)\equiv x^p-x \pmod p \] の両辺の\(x\)の係数を比較して、 \[ (-1)^{p-1}(p-1)!\equiv -1 \pmod p \] より、 \[ (p-1)!\equiv -1\pmod p \] が得られる。

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