無限級数の値

ゼータ関数その1

Riemann ゼータ関数を、

\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \] によって、定義する。ここで、 \[ \zeta(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \] は発散する。第\(2^k+1\)項から、第\(2^{k+1}\)項までを\(\frac{1}{2^{k+1}}\)に置き換えると、 \begin{align} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots&\geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\\ &=1+\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8}+8\cdot\frac{1}{16}+\cdots\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \end{align} で、最後の級数が発散しているからである。さて、積分表示を考えてみる。 \[ \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-nx}\,dx=\frac{1}{n^s} \] をもちいて、 \begin{align} \zeta(s)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-nx}\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx \end{align} これがゼータ関数の積分表示になっている。ここで、変数変換をしてみたい。 \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{(-\ln x)^{s-1}}{1-x}\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{(-\ln(1-x))^{s-1}}{x}\,dx \end{align} さて、ここで交代和 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} \] を考えてみたい。 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^s}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^s}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^s}\\ &=\zeta(s)-2^{1-s}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\\ &=(1-2^{1-s})\zeta(s)\\ \end{align} さて、対数関数のTaylor展開より、 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2 \] であるから、 \begin{align} \lim_{s\to 0}s\zeta(1+s)&=\ln 2\lim_{s\to 0}\frac{s}{1-2^{-s}}\\ &=\ln 2\frac{1}{\ln 2}\\ &=1 \end{align} よって、 \[ \lim_{s\to 0}s\zeta(1+s)=1 \] である。

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