無限級数の値

ゼータ関数その2

ゼータ関数の別の積分表示を考える。

\[ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2x} \] とする。 \begin{align} \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}(f(x)-1)\,dx&=\frac{2}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2x}\,dx\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-\pi n^2x}\,dx\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\pi n^2)^s}\\ &=2\pi^{-s}\zeta(2s) \end{align} よって、 \begin{align} 2\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac s2\right)\zeta(s)=\int_0^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx \end{align} ここで、 \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(\frac 1x\right) \] という式がなりたつことをもちいると、 \begin{align} 2\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac s2\right)\zeta(s)&=\int_0^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx\\ &=\int_1^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx+\int_0^1x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx\\ &=\int_1^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx+\int_1^{\infty}x^{-s/2-1}\left(f\left(\frac 1x\right)-1\right)\,dx\\ &=\int_1^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx+\int_1^{\infty}x^{-s/2-1}\left(\sqrt{x}f(x)-1\right)\,dx\\ &=\int_1^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx+\int_1^{\infty}x^{(1-s)/2-1}f(x)-x^{-s/2-1}\,dx\\ &=\int_1^{\infty}x^{s/2-1}(f(x)-1)\,dx+\int_1^{\infty}x^{(1-s)/2-1}(f(x)-1)-x^{-s/2-1}+x^{(1-s)/2-1}\,dx\\ &=\int_1^{\infty}\left(x^{s/2-1}+x^{(1-s)/2-1}\right)(f(x)-1)\,dx+\int_1^{\infty}x^{(1-s)/2-1}-x^{-s/2-1}\,dx\\ &=\int_1^{\infty}\left(x^{s/2-1}+x^{(1-s)/2-1}\right)(f(x)-1)\,dx-\frac{2}{s}-\frac{2}{1-s}\\ \end{align} よって、 \[ \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac s2\right)\zeta(s)=\int_1^{\infty}\left(x^{s/2-1}+x^{(1-s)/2-1}\right)(f(x)-1)\,dx-\frac{2}{s}-\frac{2}{1-s}\\ \] である。ここで、\(s\)と\(1-s\)は対称であるから、 \begin{align} \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac s2\right)\zeta(s)&=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)\\ \pi^{1/2-s}\Gamma\left(\frac s2\right)\Gamma\left(\frac{1+s}{2}\right)\zeta(s)&=\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+s}{2}\right)\zeta(1-s)\\ \pi^{1/2-s}2^{1-s}\sqrt{\pi}\Gamma(s)\zeta(s)&=\frac{\pi}{\cos\frac{\pi s}{2}}\zeta(1-s)\\ \zeta(1-s)&=2(2\pi)^{-s}\cos\frac{\pi s}{2}\Gamma(s)\zeta(s)\\ \end{align} これが、ゼータ関数の関数等式である。 \begin{align} -1&=\lim_{s\to 0}s\zeta(1-s)\\ &=\lim_{s\to 0}2(2\pi)^{-s}\cos\frac{\pi s}{2}\Gamma(s+1)\zeta(s)\\ &=2\zeta(0) \end{align} よって、 \[ \zeta(0)=-\frac{1}{2} \] これは級数としてみると、 \[ 1+1+1+1+\cdots=-\frac{1}{2} \] のような不思議な式になるが、もちろんそれが実際になりたつわけではない。

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