無限級数の値

ゼータ関数その3

ゼータ関数の特殊値を求めたい。関数等式、

\[ \zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s}\cos\frac{\pi s}{2}\Gamma(s)\zeta(s)\\ \] において、\(s=2n+1\)とすると、 \[ \zeta(-2n)=2(2\pi)^{-2n-1}\cos\frac{\pi(2n+1)}{2}\Gamma(2n+1)\zeta(2n+1)=0\\ \] よって、ゼータ関数は\(s=-2n\)を零点にもつ。 さて、ここで積分表示をもちいて、 \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx+\frac{1}{\Gamma(s)}\int_1^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx\\ \end{align} ここで、\(s\to -n\)の極限をとると、 \[ \zeta(-n)=\lim_{s\to -n}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx+\lim_{s\to -n}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_1^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx\\ \] ここで、第2項は積分が収束し、ガンマ関数の逆数が\(0\)にいくので消えて、 \begin{align} \zeta(-n)&=\lim_{s\to -n}\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx\\ &=\lim_{s\to -n}\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{\Gamma(s+n+1)}\int_0^1\frac{x}{e^x-1}x^{s-2}\,dx\\ &=(-1)^nn!\lim_{s\to -n}(s+n)\int_0^1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^{k+s-2}\,dx\\ &=(-1)^nn!\lim_{s\to -n}(s+n)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!(k+s-1)}\\ &=(-1)^nn!\lim_{s\to -n}(s+n)\cdot\frac{B_{n+1}}{(n+1)!(s+n)}\\ &=\frac{(-1)^nB_{n+1}}{n+1} \end{align} よって、 \[ \zeta(-n)=\frac{(-1)^nB_{n+1}}{n+1}=-\frac{B_{n+1}}{n+1} \] 値を求めると、 \[ \zeta(-1)=-\frac{1}{12},\quad \zeta(-3)=\frac{1}{120},\quad \zeta(-5)=-\frac{1}{252} \] さて、関数等式 \[ \zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s}\cos\frac{\pi s}{2}\Gamma(s)\zeta(s)\\ \] に\(s=2n\)を代入してみると、 \begin{align} -\frac{B_{2n}}{2n}&=\zeta(1-2n)\\ &=2(2\pi)^{-2n}\cos\pi n\Gamma(2n)\zeta(2n)\\ &=2(2\pi)^{-2n}(-1)^n(2n-1)!\zeta(2n) \end{align} よって、 \[ \zeta(2n)=\frac{(-1)^{n-1}B_{2n}}{2(2n)!}(2\pi)^{2n} \] 値を求めると、 \[ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\quad \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\quad \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945},\quad\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450} \] これは何度見ても美しい値だと思う。

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