無限級数の値

ゼータ関数その5

前の記事では、\(\zeta(2)\)の値を初等的に求めたので、 今度は\(\zeta(2n)\)を求める方法を考えてみたい。

\[ \sum_{k=1}^{n-1}\zeta(2k)\zeta(2n-2k) \] を考える。 \begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}\zeta(2k)\zeta(2n-2k)&=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2k}}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^{2n-2k}}\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i,j\geq 1}\frac{1}{i^{2k}j^{2n-2k}}\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=j}\frac{1}{i^{2k}j^{2n-2k}}+\sum_{i\neq j}\frac{1}{i^{2k}j^{2n-2k}}\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2n}}+\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n}}\left(\frac{j}{i}\right)^{2k}\\ &=(n-1)\zeta(2n)+\sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{j}{i}\right)^{2k}\\ \end{align} ここで、第2項は\(i\neq j\)となる全ての自然数の組について足し合わせるものとする。 \begin{align} \sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{j}{i}\right)^{2k}&=\sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n}}\frac{j^2}{i^2}\frac{1-\frac{j^{2n-2}}{i^{2n-2}}}{1-\frac{j^2}{i^2}}\\ &=\sum_{i\neq j}\frac{1}{i^{2n-2}j^{2n-2}}\frac{i^{2n-2}-j^{2n-2}}{i^2-j^2}\\ &=\sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n-2}(i^2-j^2)}+\sum_{i\neq j}\frac{1}{i^{2n-2}(j^2-i^2)}\\ &=2\sum_{i\neq j}\frac{1}{j^{2n-2}(i^2-j^2)}\\ &=2\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^{2n-2}}\sum_{i\neq j}\frac{1}{i^2-j^2} \end{align} ここで、内側の和は \begin{align} \sum_{i\neq j}\frac{1}{i^2-j^2}&=\frac{1}{2j}\sum_{i\neq j}\left(\frac{1}{i-j}-\frac{1}{i+j}\right)\\ &=\frac{1}{2j}\left(\sum_{i>j}\left(\frac{1}{i-j}-\frac{1}{i+j}\right)+\sum_{i< j}\left(\frac{1}{i-j}-\frac{1}{i+j}\right)\right)\\ &=\frac{1}{2j}\left(H_{2j}-\left(H_{2j-1}-\frac{1}{j}\right)\right)\\ &=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{2j}+\frac{1}{j}\right)\\ &=\frac{3}{4j^2} \end{align} よって、 \begin{align} 2\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^{2n-2}}\sum_{i\neq j}\frac{1}{i^2-j^2}&=\frac{3}{2}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^{2n}}\\ &=\frac{3}{2}\zeta(2n) \end{align} これらを合わせて、 \[ \sum_{k=1}^{n-1}\zeta(2k)\zeta(2n-2k)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\zeta(2n) \] だから、 \[ \zeta(2n)=\frac{2}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\zeta(2k)\zeta(2n-2k) \] これにより、\(\zeta(2),\zeta(4),\ldots,\zeta(2n-2)\)の値が分かっているとき、 \(\zeta(2n)\)の値を求めることができる。これ初めてみたときはすごい驚いたんだけど、 よく考えたらBernoulli数にもこういう漸化式があったことを思い出した。

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